Question

16．已知在等腰梯形ABCD中．AB∥CD，AB=2CD，雙曲線M以A、B為焦點．且過C、D兩點，點E在雙曲線M上．若$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，則雙曲線的離心率為$\frac{8\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 可設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，由題意可得|CD|=c，設C在第一象限，由x=$\frac{c}{2}$，代入雙曲線的方程，可得C的坐標，再由條件$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，可得$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{EC}$，運用向量共線的坐標表示，求得E的坐標，代入雙曲線的方程，由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：可設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
由2c=|AB|=2|CD|，可得|CD|=c，
設C在第一象限，
由x=$\frac{c}{2}$，可得y=b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$，
即有C（$\frac{1}{2}$c，b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$），
又設A（-c，0），
$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，即為$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{EC}$，
可得E（$\frac{-c+\frac{2}{3}•\frac{1}{2}c}{1+\frac{2}{3}}$，$\frac{b\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}}{1+\frac{2}{3}}$），
即為（-$\frac{2}{5}$c，$\frac{3}{5}$b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$），
代入雙曲線的方程，可得$\frac{4}{25}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{9}{25}$（$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-1）=1，
由e=$\frac{c}{a}$，可得4e²-$\frac{9}{4}$e²=16，解得e=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$．
故答案為：$\frac{8\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用向量的坐標表示，點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．