Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂=2，a₅=128．若b_n=log₂a_n，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的和為S_n．
（Ⅰ）若S_n=35，求n的值；
（Ⅱ）求不等式S_n＜2b_n的解集．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等比數(shù)列{a_n}中，設(shè)出公比為q，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，代入a₂=2，a₅=128，求出公比，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，代入S_n=35，求出n值；
（Ⅱ）因?yàn)閎_n=log₂a_n，將a_n代入b_n，求出其通項(xiàng)公式，代入不等式S_n＜2b_n求出n的范圍；

解答：解：（Ⅰ）∵a₂=a₁q=2，a₅=a₁q⁴=128得q³=64，
∴q=4，a₁=

1

2

∴a_n=a₁q^n-1=

1

2

×4n-1=2^2n-3，∴b_n=log₂a_n=log₂2^2n-3=2n-3
∵b_n+1-b_n=[2（n+1）-3]-（2n-3）=2
∴{b_n}是以b₁=-1為首項(xiàng)，2為公差數(shù)列；
∴S_n=

(-1+2n-3)n

2

=35，即n²-2n-35=0，可得（n-7）（n+5）=0，
即n=7；
（Ⅱ）∵S_n-b_n=n²-2n-（2n-3）=n²-4n+3＜0
∴3-

3

＜n＜3+

3

，∵n∈N⁺，
∴n=2，3，4，即所求不等式的解集為{2，3，4}；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，此題計(jì)算量比較大，計(jì)算時(shí)要仔細(xì)，此題是一道基礎(chǔ)題；