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設常數a＞0，(ax2+
1
x
)4展開式中x3的系數為
3
2
，則a=
 
；
lim
n→x
（a+a2+…an）=
 
．
分析：（1）利用二項展開式通項公式Tr+1=c4r（ax2）4-r（
1
x
）r，整理后，令x的次數等于3，從而解得a，
（2）由a=
1
2
＜1，可知數列a，a2…an是遞降等比數列，則
lim
n→∞
（a+a2+…+an）表示無窮遞降等比數列的各項和，利用無窮遞降等比數列的各項和公式，可得解．
解答：解：（1）由Tr+1=c4r（ax2）4-r（
1
x
）r，整理得Tr+1=c4ra4-rx8-
5
2
r，
r=2時，即c42a2=
3
2
，∴a=
1
2
．
故答案為：
1
2
．

（2）由a=
1
2
，可知數列a，a2…an是遞降等比數列，
則
lim
n→∞
（a+a2+…+an）表示無窮遞降等比數列的各項和，
由無窮遞降等比數列的各項和公式（
lim
n→∞
sn=
a1
1-q
），
可知
lim
n→∞
（a+a2+…+an）=
a
1-a
═
1
2
1-
1
2
=1．
故答案為：1．
點評：本題（1）主要考查二項式展開式特定項的系數的求法，需要熟記展開式的通項公式，即Tr+1=cnran-rbr．是高考的常見題型．
（2）主要考查等比數列求和公式及極限的運算，需要注意：當a的絕對值小于1時，
lim
n→∞
an=0，要記住無窮遞降等比數列各項和公式
lim
n→∞
sn=
a1
1-q
．在選擇填空中可以加快速度．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x+
a
x
有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在(0，
a
]上是減函數，在[
a
，+∞)上是增函數．
（1）如果函數y=x+
2b
x
(x＞0)在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）上是增函數，求b的值．
（2）設常數c∈[1，4]，求函數f(x)=x+
c
x
(1≤x≤2)的最大值和最小值；
（3）當n是正整數時，研究函數g(x)=xn+
c
xn
(c＞0)的單調性，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設常數a＞0，(ax-
1
x
)5展開式中x3的系數為-
5
81
，則a=
 
，
lim
n→∞
(a+a2+…+an)=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x+
a
x
旦（a＞0）有如下的性質：在區(qū)間（0，
a
]上單調遞減，在[
a
，+∞）上單調遞增．
（1）如果函數f（x）=x+
2b
x
在（0，4]上單調遞減，在[4，+∞）上單調遞增，求常數b的值．
（2）設常數a∈[l，4]，求函數y=x+
a
x
在x∈[l，2]的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x+
a
x
有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，
a
]上是減函數，在[
a
，+∞）上是增函數．
（1）如果函數y=x+
2b
x
（x＞0）在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）是增函數，求b的值；
（2）證明：函數f（x）=x+
a
x
（常數a＞0）在（0，
a
]上是減函數；
（3）設常數c∈（1，9），求函數f（x）=x+
c
x
在x∈[1，3]上的最小值和最大值．

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科目：高中數學 來源：朝陽區(qū)二模 題型：填空題

設常數a＞0，(ax-
1
x
)5展開式中x3的系數為-
5
81
，則a=______，
lim
n→∞
(a+a2+…+an)=______．

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