Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）在[1，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）當(dāng)時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若f（x）+3≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）在[1，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)利用條件f（x）+3≥0恒成立，求a的取值范圍．
解答：解：（1）當(dāng)a=0時，，若f'（x）≥0，則x＜2，若f'（x）＜0，則x＞2．
所以當(dāng)x=2時，函數(shù)取得即極大值即最大值f（2）=，因為f（1）=0，f（3）=＞0，
所以最小組為0．
（2）求導(dǎo)，得，令f'（x）=0，則（ax+1）（2-x）=0，
當(dāng)a≠0時，方程二根為和2．
因為，所以，
由f'（x）＜0得，x或x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
由f'（x）＞0，得，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
（3）由f（x）+3≥0得ax²≥1-x-3e^x，當(dāng)x=0時，f（x）+3≥0恒成立．
當(dāng)x≠0時，若f（x）+3≥0恒成立，即恒成立，令，只需求其最大值即可．
由，得x=2或x=-ln3．
當(dāng)-ln3＜x＜0或0＜x＜2時，g'（x）＞0，當(dāng)x＜-ln3或x＞2時，g'（x）＜0，
所以當(dāng)x變化時，g（x），g'（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，ln3）	-ln3	（-ln3，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-		+	0	-
g（x）	遞增	極大值	遞減		遞增	極大值	遞減

由上表可知，f（x）的極大值是f（-ln3）=和g（2）=，f（x）的最大值是f（-ln3）=，
所以要使f（x）+3≥0恒成立，則a≥．
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生的運算能力，綜合性較強，運算量較大．