Question

 

如圖△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。

（1）  求點A到平面MBC的距離；

（2）  求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值。

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】本題以圖形拼折為載體主要考查了考查立體圖形的空間感、點到直線的距離、二面角、空間向量、二面角平面角的判斷有關(guān)知識，同時也考查了空間想象能力和推理能力

解法一：（1）取CD中點O，連OB，OM，則OB⊥CD，

OM⊥CD.又平面平面,則MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延長AM、BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角.OB=MO=，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距離相等，作OHBC于H，連MH，則MHBC，求得：

OH=OCsin60⁰=,MH=,利用體積相等得：。

（2）CE是平面與平面的交線.

由（1）知，O是BE的中點，則BCED是菱形.

作BF⊥EC于F，連AF，則AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，設(shè)為.

因為∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.

，

，

所以，所求二面角的正弦值是.

【點評】傳統(tǒng)方法在處理時要注意到輔助線的處理，一般采用射影、垂線、平行線等特殊位置的元素解決

解法二：取CD中點O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,則MO⊥平面.

以O為原點，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖.

OB=OM=，則各點坐標分別為O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），

（1）設(shè)是平面MBC的法向量，則，

，由得；由得；取，則距離

（2），.

設(shè)平面ACM的法向量為，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量為，則

設(shè)所求二面角為，則.

【點評】向量方法作為溝通代數(shù)和幾何的工具在考察中越來越常見，此類方法的要點在于建立恰當?shù)淖鴺讼担�便于計算，位置關(guān)系明確，以計算代替分析，起到簡化的作用，但計算必須慎之又慎