Question

已知函數(shù)f（x）=

x3

3

+

1

2

ax²+2bx+c的兩個(gè)極值分別為f（x₁）和f（x₂），若x₁和x₂分別在區(qū)間（-2，0）與（0，2）內(nèi)，則

b-2

a-1

的取值范圍為（　�。�

• A、（-2，

  2

  3

  ）
• B、[-2，

  2

  3

  ]
• C、（-∞，-2）∪（

  2

  3

  ，+∞）
• D、（-∞，-2]∪[

  2

  3

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)極值的意義可知，極值點(diǎn)x₁、x₂是導(dǎo)函數(shù)等于零的兩個(gè)根，根據(jù)根的分布建立不等關(guān)系，畫(huà)出滿足條件的區(qū)域，明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求得結(jié)論．

解答： 解：求導(dǎo)函數(shù)可得f'（x）=x²+ax+2b
依題意知，方程f'（x）=0有兩個(gè)根x₁、x₂，且x₁∈（-2，0），x₂∈（0，2），
等價(jià)于f'（-2）＞0，f'（0）＜0，f'（2）＞0．
∴

2-a+b＞0 b＜0 2+a+b＞0

滿足條件的（a，b）的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-2，0），B（0，-2），C（2，0），

b-2

a-1

表示（a，b）與點(diǎn)（1，2）連線的斜率，由圖可知故A點(diǎn)的斜率為

2-0

1+2

=

2

3

，
過(guò)B點(diǎn)的斜率為

2+2

1-0

=4，過(guò)C點(diǎn)的斜率為

2-0

1-2

=-2，
∴

b-2

a-1

的取值范圍為（-∞，-2]∪[

2

3

，+∞）．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，屬于中檔題．