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對于函數f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點．如果函數f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)有兩個相異的不動點x1、x2．

(Ⅰ)若x1＜1＜x2，且f(x)的圖象關于直線x＝m對稱，求證m＞；

(Ⅱ)若|x1|＜2且|x1－x2|＝2，求b的取值范圍．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)由f(x)表達式得m＝－，

　　∵g(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋1，a＞0，

　　由x1，x2是方程f(x)＝x的兩相異根，且x1＜1＜x2，

　　∴g(1)＜0Þ a＋b＜0Þ －＞1Þ －＞，即m＞．

　　(Ⅱ)Δ＝(b－1)2－4a＞0Þ (b－1)2＞4a，

　　x1＋x2＝，x1x2＝，

　　∴|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝()2－＝22，

　　∴(b－1)2＝4a＋4a2(*)

　　又|x1－x2|＝2，

　　∴x1、x2到g(x)對稱軸x＝的距離都為1，

　　要g(x)＝0有一根屬于(－2，2)，

　　則g(x)對稱軸x＝Î (－3，3)，

　　∴－3＜＜3Þ a＞|b－1|，

　　把代入(*)得：(b－1)2＞|b－1|＋(b－1)2，

　　解得：b＜或b＞，

　　∴b的取值范圍是：(－¥ ，)∪(，＋¥ )．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（08年黃岡中學一模理） (本小題滿分14分)對于函數f(x)，若存在，使成立，則稱x0為f(x)的不動點. 如果函數有且僅有兩個不動點0，2，且

（1）試求函數f(x)的單調區(qū)間；

（2）已知各項不為零且不為1的數列{an}滿足，求證：；

（3）設，為數列{bn}的前n項和，求證：

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科目：高中數學 來源： 題型：

       對于函數f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點  已知函數f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2時，求f(x)的不動點；

（2）若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖像上A、B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，且A、B關于直線y=kx+對稱，求b的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點．如果函數

f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)有兩個相異的不動點x1，x2．

⑴若x1<1<x2，且f(x)的圖象關于直線x＝m對稱，求證：<m<1；

⑵若|x1|<2且|x1－x2|＝2，求b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2014屆湖南師大附中高三第二次月考理科數學試卷（解析版） 題型：填空題

對于函數f(x)，若在其定義域內存在兩個實數a，b(a＜b)，使當x∈[a，b]時，f(x)的值域也是[a，b]，則稱函數f(x)為“布林函數”，區(qū)間[a，b]稱為函數f(x)的“等域區(qū)間”.

（1）布林函數的等域區(qū)間是         .

（2）若函數是布林函數，則實數k的取值范圍是           .

 

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科目：高中數學 來源：2014屆湖南省華容縣高一第一學期期末考試數學試卷 題型：解答題

(本小題滿分6分）對于函數f(x)，若存在x0ÎR，使f(x0)＝x0成立，則稱點(x0，x0)為函數的不動點，已知函數f(x)＝ax2＋bx-b有不動點(1,1)和(-3,-3)，求a、b的值。

 

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