Question

判斷函數(shù)y=ax+

b

x

（a＞0，b＞0）是否有對稱軸，如果有，求出對稱軸，如果沒有，請說明理由．

Answer 1

考點：奇偶函數(shù)圖象的對稱性

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：由題意，不妨設對稱軸為y=kx，從而可得點（x，y）關于y=kx的對稱點為（

2ky+x-k2x

k2+1

，

k2y-y+2kx

k2+1

），從而得到a

2ky+x-k2x

k2+1

+

b(k2+1)

2ky+x-k2x

-

k2y-y+2kx

k2+1

=0，化簡可得[4ak²-2k（k²-1）]y²+[a（k²-1）²+（k²-1）2k]x²-[4ak（k²-1）+4k²-（k²-1）²]xy+b（k²+1）²=0對任意x，y都成立，從而推出矛盾．

解答： 解：∵函數(shù)y=ax+

b

x

的對稱中心為原點，
∴若函數(shù)y=ax+

b

x

有對稱軸，
則對稱軸過原點，
由題意不妨設為y=kx，
則設點（x，y）在函數(shù)y=ax+

b

x

的圖象上，
則點（x，y）關于y=kx的對稱點為（

2ky+x-k2x

k2+1

，

k2y-y+2kx

k2+1

），
則a

2ky+x-k2x

k2+1

+

b(k2+1)

2ky+x-k2x

-

k2y-y+2kx

k2+1

=0可化為
a（2ky+x-k²x）²+b（k²+1）²-（2ky+x-k²x）（k²y-y+2kx）=0，
即[4ak²-2k（k²-1）]y²+[a（k²-1）²+（k²-1）2k]x²-[4ak（k²-1）+4k²-（k²-1）²]xy+b（k²+1）²=0對任意x，y都成立，
則4ak²-2k（k²-1）=0，
a（k²-1）²+（k²-1）2k=0，
4ak（k²-1）+4k²-（k²-1）²=0，
b（k²+1）²=0，
則b=0，與題矛盾；
故沒有對稱軸．

點評：本題考查了函數(shù)圖象的對稱性的判斷，化簡很困難，屬于難題．