Question

8．若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：ln$\frac{a+b}{2}$+ln$\frac{b+c}{2}$+ln$\frac{c+a}{2}$＞lna+lnb+lnc．

Answer 1

分析 先根據(jù)基本不等式可得 $\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$＞0，$\frac{b+c}{2}$≥$\sqrt{bc}$＞0，$\frac{a+c}{2}$≥$\sqrt{ac}$＞0，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可得 $\frac{a+b}{2}$•$\frac{b+c}{2}$•$\frac{a+c}{2}$＞abc成立，兩邊同取常用對數(shù)，即可證得結(jié)論．

解答 證明：∵a，b，c∈R⁺，
∴$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$＞0，$\frac{b+c}{2}$≥$\sqrt{bc}$＞0，$\frac{a+c}{2}$≥$\sqrt{ac}$＞0…（4分）
又上述三個等式中等號不能同時成立
∴$\frac{a+b}{2}$•$\frac{b+c}{2}$•$\frac{a+c}{2}$＞abc成立．…（6分）
ln（ $\frac{a+b}{2}$•$\frac{b+c}{2}$•$\frac{a+c}{2}$）＞ln（abc）
∴l(xiāng)n$\frac{a+b}{2}$+ln$\frac{b+c}{2}$+ln$\frac{c+a}{2}$＞lna+lnb+lnc．…（12分）

點評 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．