Question

對(duì)任意的正整數(shù)n，猜測(cè)：2^n-1與（n+1）²的大小．寫(xiě)出你的結(jié)論．并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】分析：對(duì)n=1，2，3，4，…取值驗(yàn)證或借助于函數(shù)y=2^x與y=x²的圖象，找出最小的正整數(shù)m等于6，再按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行證明．
解答：解：當(dāng)n=1時(shí)2^n-1＜（n+1）²
當(dāng)n=2時(shí)，2^2-1=2＜（2+1）²
當(dāng)n=3時(shí)，2^3-1=4＜（3+1）²
當(dāng)n=4時(shí)2^4-1＜（4+1）²
當(dāng)n=5時(shí)2^5-1＜（5+1）²
當(dāng)n=6時(shí)  2^6-1＜（6+1）²
當(dāng)n=7時(shí)  2^7-1=（7+1）²
當(dāng)n=8時(shí)  2^8-1＞8+1）²
…
猜想當(dāng)n≥8，2^n-1＞（n+1）² 恒成立．
數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=8時(shí)，2^8-1=128，（8+1）²=81，128＞81，2^n-1＞（n+1）² 成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥8）時(shí)不等式成立，即有2^k-1＞（k+1）²
則當(dāng)n=k+1時(shí)，2^（k+1）-1=2^k=2•2^k-1＞2•（k+1）²=k²+[（k+2）²-2]＞（k+2）²  （∵k²-2＞0）
=[（k+1）+1]²，即是說(shuō) 當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．
由（1）（2）可知當(dāng)n≥8，時(shí)2^n-1＞（n+1）² 恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查猜想、證明的推理方法，考查數(shù)學(xué)歸納法證明命題．注意證明的步驟的應(yīng)用．