Question

如圖，半圓形公園上有P和Q兩點(diǎn)，線段AB是該半圓的一條直徑，C為圓心，半徑是2km，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一塊頂點(diǎn)都在半圓C上的多邊形活動(dòng)場(chǎng)地為等腰梯形ABPQ．
（1）若設(shè)PQ=2x（km），求場(chǎng)地面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若設(shè)∠PCB=θ，求場(chǎng)地面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（3）選擇（1）、（2）中的一個(gè)函數(shù)的關(guān)系式，求場(chǎng)地面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中半圓的半徑是2km，PQ=2x，我們可以計(jì)算出梯形的高，即PQ到AB的距離，然后將上底長(zhǎng)，下底長(zhǎng)和高代入梯形面積公式，即可得到場(chǎng)地面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)∠PCB=θ半圓的半徑是2km，我們可以計(jì)算出梯形的高，及上底的長(zhǎng)度，然后將上底長(zhǎng)，下底長(zhǎng)和高代入梯形面積公式，即可得到場(chǎng)地面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式
（3）分別求出（1）、（2）結(jié)論中兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析出函數(shù)取最大值時(shí)自變量的值，代入即可得到面積的最大值．

解答：解：（1）半圓的半徑是2km，又由PQ=2x
則PQ到AB的距離為

4-x2

代入梯形面積公式，即可得到
場(chǎng)地面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：S=(x+2)

4-x2

，x∈(0，2)．
（2）若∠PCB=θ，則梯形的高為2sinθ，上底長(zhǎng)為2cosθ
代入梯形面積公式，即可得到
場(chǎng)地面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為：S=4sinθ+2sin2θ，θ∈(0，

π

2

)．
（3）若選用（1），則S′=

-2(x-1)(x+2)

4-x2

，x∈(0，2)，通過(guò)列表，觀察得：當(dāng)x=1時(shí)，Smax=3

3

(km2)；
若選用（2），則S'=4cosθ+4cos2θ=4（2cos²θ+cosθ-1）=4（cosθ+1）（2cosθ-1），通過(guò)列表，觀察得：當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，Smax=3

3

(km2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是已知三角形模型的應(yīng)用問(wèn)題．由于場(chǎng)地為一個(gè)梯形，故求出梯形的上下底邊的長(zhǎng)及梯形的高，是求出場(chǎng)地面積的關(guān)鍵．