Question

一個斜三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，側(cè)棱長5，若其中一條側(cè)棱與底面三角形的相鄰兩邊都成45°角，則這個三棱柱的側(cè)面積是（ ）
A．60
B．30
C．10
D．20

Answer 1

【答案】分析：過A₁作A₁D⊥平面ABC，由∠A₁AC=∠A₁AB=45°，知AO是∠BAC的平分線，由△ABC是等邊三角形，知AO⊥BC，所以平面BB₁C₁C是矩形，過O作OE⊥AB，連接A₁E，由三垂線定理知A₁E⊥AB，由此能求出這個三棱柱的側(cè)面積．
解答：解：過A₁作A₁D⊥平面ABC，
∵∠A₁AC=∠A₁AB=45°，
∴AO是∠BAC的平分線，
∵△ABC是等邊三角形，∴AO⊥BC，
∴AA₁⊥BC，∴BC⊥BB₁，
∴平面BB₁C₁C是矩形，
過O作OE⊥AB，連接A₁E，由三垂線定理知A₁E⊥AB，
在△A₁AE中，A₁E=AA₁sin45°=5×，
∴S_側(cè)=2×+=2×+BC×BB₁
=
=20+10．
故選C．
點評：本題考查三棱柱的側(cè)面積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意三垂線定理的合理運用．