Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且f（A）=2cos

A

2

sin（π-

A

2

）+sin²

A

2

-cos²

A

2

．
（1）求函數(shù)f（A）的最大值；
（2）若f（A）=0，B=

5π

12

，a=2

6

，求c的值．

Answer 1

分析：（1）逆用二倍角的正弦與余弦及輔助角公式可將f（A）化簡為f（A）=

2

sin（A-

π

4

），利用0＜A＜π及正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得函數(shù)f（A）的最大值；
（2）在△ABC中，由f（A）=0可求得A=

π

4

，而B=

5π

12

，從而可求得C，a=2

6

，利用正弦定理即可求得c．

解答：解：（1）f（A）=2cos

A

2

sin

A

2

+sin²

A

2

-cos²

A

2

=sinA-cosA
=

2

sin（A-

π

4

）．
∵0＜A＜π，
∴-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

．
∴當A-

π

4

=

π

2

，即A=

3π

4

時，f（A）取得最大值，且最大值為

2

．
（2）由題意知f（A）=

2

sin（A-

π

4

）=0，
∴sin（A-

π

4

）=0．
又知-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

，
∴A-

π

4

=0，
∴A=

π

4

．
∵B=

5π

12

，
∴A+C=

7π

12

，則c=

π

3

．
由

a

sinA

=

c

sinC

得：
c=

asinC

sinA

=

2 6 sin π 3

sin π 4

=6．

點評：本題考查用二倍角的正弦與余弦及輔助角公式，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．