Question

（2013•昌平區(qū)一模）已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其短軸的一個端點到右焦點的距離為2，且點A（

2

，1）在橢圓M上．直線l的斜率為

2

2

，且與橢圓M交于B、C兩點．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把點A代入橢圓方程，結合a=2解出b，則橢圓的標準方程可求；
（Ⅱ）寫出直線的點斜式方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關于x的一元二次方程，由判別式大于0解出m的范圍，求出相應的兩個根，由點到直線的距離公式求出A到BC邊的距離，寫出面積后利用基本不等式求面積的最大值，驗證得到的m值符合判別式大于0．

解答：解：（Ⅰ）由題意知

2 a2 + 1 b2 =1 a=2

，解得b=

2

．
故所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ） 設直線l的方程為y=

2

2

x+m，則m≠0．
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
代入橢圓方程并化簡得x2+

2

mx+m2-2=0，
由△=2m²-4（m²-2）=2（4-m²）＞0，可得0＜m²＜4①．
由①，得x1=

- 2 m- 2(4-m2)

2

，x2=

- 2 m+ 2(4-m2)

2

，
故|BC|=

1+( 2 2 )2

|x1-x2|=

3 2

×

2(4-m2)

=

3(4-m2)

．
又點A到BC的距離為d=

|2m|

6

，
故S△ABC=

1

2

|BC|•d=

1

2

3(4-m2)

×

|2m|

6

=

1

2

×

(4-m2)m2

≤

1

2

×

m2+(4-m2)

2

=

2

，
當且僅當m²=4-m²，即m=±

2

時取等號，滿足①式．
所以△ABC面積的最大值為

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，訓練了弦長公式的用法，考查了利用基本不等式求最值，考查了學生的計算能力，屬難題．