Question

已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中錯誤的是（　�。�

• A．y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對稱
• B．y=f（x）的圖象關(guān)于x=

  π

  2

  對稱
• C．f（x）的最大值為

  3

  2

• D．f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

Answer 1

分析：對于A選項，用中心對稱的充要條件，直接驗證f（2π-x）+f（x）=0是否成立即可判斷其正誤；
對于B選項，用軸對稱的條件直接驗證f（π-x）=f（x）成立與否即可判斷其正誤；
對于C選項，可將函數(shù)解析式換為f（x）=2sinx-2sin³x，再換元為y=2t-2t³，t∈[-1，1]，利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最值即可判斷正誤；
對于D選項，可利用奇函數(shù)的定義與周期函數(shù)的定義直接證明．

解答：解：對于A選項，因為f（2π-x）+f（x）=cos（2π-x）sin2（2π-x）+cosxsin2x=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對稱，A正確；
對于B選項，因為f（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的圖象關(guān)于x=

π

2

對稱，故B正確；
對于C選項，f（x）=cosxsin2x=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，令t=sinx∈[-1，1]，則y=2t-2t³，t∈[-1，1]，則y′=2-6t²，令y′＞0解得-

3

3

＜t＜

3

3

，故y=2t-2t³，在[-

3?

3

，

3?

3

]上增，在[-1，-

3?

3

]與[

3?

3

，1]上減，又y（-1）=0，y（

3?

3

）=

4 3

9

，故函數(shù)的最大值為

4 3

9

，故C錯誤；
對于D選項，因為f（-x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函數(shù)，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函數(shù)的周期，所以函數(shù)即是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)
，故D正確
綜上知，錯誤的結(jié)論只有C，
故選C

點評：本題考查函數(shù)的中心對稱性，軸對稱性的條件，利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)奇偶性與周期性的判定，涉及到的知識較多，綜合性強，知識領(lǐng)域轉(zhuǎn)換快，易導致錯誤