Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求所有的實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）=2x+1圖象的下方；
（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：

由f（x）在R上是增函數(shù)，則 即﹣2≤a≤2，則a范圍為﹣2≤a≤2；

（2）解：由題意得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，

即x|x﹣a|＜1，當(dāng)x∈[1，2]恒成立，即 ， ， ，故只要 且 在x∈[1，2]上恒成立即可，

在x∈[1，2]時(shí)，只要 的最大值小于a且 的最小值大于a即可，

而當(dāng)x∈[1，2]時(shí)， ， 為增函數(shù)， ；

當(dāng)x∈[1，2]時(shí)， ， 為增函數(shù)， ，

所以 ；

（3）解：當(dāng)﹣2≤a≤2時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)，則關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；

則當(dāng)a∈（2，4]時(shí)，由 得x≥a時(shí)，f（x）=x2+（2﹣a）x對(duì)稱(chēng)軸 ，

則f（x）在x∈[a，+∞）為增函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)閇f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a時(shí)，f（x）=﹣x2+（2+a）x對(duì)稱(chēng)軸 ，

則f（x）在 為增函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)? ，f（x）在 為減函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)? ；

由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個(gè)不相等的實(shí)根，則 ，

即存在a∈（2，4]，使得 即可，令 ，

只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函數(shù)， ，

故實(shí)數(shù)t的取值范圍為 ；（15分）

同理可求當(dāng)a∈[﹣4，﹣2）時(shí)，t的取值范圍為 ；

綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍為 ．

【解析】（1）由題意知f（x）在R上是增函數(shù)，則 即﹣2≤a≤2，則a范圍．（2）由題意得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即 ， ， ，故只要 且 在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]時(shí)，只要 的最大值小于a且 的最小值大于a即可．由此可知答案．（3）當(dāng)﹣2≤a≤2時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)，則關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個(gè)不相等的實(shí)根，則 ，即存在a∈（2，4]，使得 即可，由此可證出實(shí)數(shù)t的取值范圍為 ．