(Ⅰ)解:因?yàn)閒'(x)=e
x-e,
令f'(x)=e
x-e>0,解得x>1,
令f'(x)=e
x-e<0,解得x<1,
所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)上遞減,(1,+∞)上遞增,
所以f(x)的最小值為f(1)=0. …(3分)
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知函數(shù)f(x)在x=1取得最小值,
所以f(x)≥f(1),
即e
x≥ex
兩端同時乘以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/806.png)
得e
x-1≥x,
把x換成t+1得e
t≥t+1,
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時等號成立.
由e
t≥t+1得,e
1>1+1=2,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18418.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18419.png)
,
…
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18420.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18421.png)
.
將上式相乘得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18422.png)
.…(9分)
(Ⅲ)設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18423.png)
.
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18424.png)
.
所以當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18425.png)
時,F(xiàn)'(x)<0;
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18426.png)
時,F(xiàn)'(x)>0.
因此
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18427.png)
時F(x)取得最小值0,
則h(x)與g(x)的圖象在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18427.png)
處有公共點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18428.png)
.
設(shè)h(x)與g(x)存在“分界線”,
方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18429.png)
.
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18430.png)
在x∈R恒成立,
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18431.png)
在x∈R恒成立.
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18432.png)
成立.
因此
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18433.png)
.
下面證明
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18434.png)
(x>0)成立.
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18435.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18436.png)
.
所以當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18425.png)
時,G'(x)>0;
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18426.png)
時,G'(x)<0.
因此
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18427.png)
時G(x)取得最大值0,
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18434.png)
(x>0)成立.
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18433.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18437.png)
.…(14分)
分析:(Ⅰ)因?yàn)閒'(x)=e
x-e,令f'(x)=e
x-e>0,解得x>1,令f'(x)=e
x-e<0,解得x<1,由此能求出f(x)的最小值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函數(shù)f(x)在x=1取得最小值,所以f(x)≥f(1),即e
x≥ex,兩端同時乘以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/806.png)
得e
x-1≥x,把x換成t+1得e
t≥t+1,當(dāng)且僅當(dāng)t=0時等號成立.由此能夠證明
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18416.png)
(n∈N
*).
(Ⅲ)設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18423.png)
.則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18424.png)
.所以當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18425.png)
時,F(xiàn)'(x)<0;當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18426.png)
時,F(xiàn)'(x)>0.因此
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18427.png)
時F(x)取得最小值0,則h(x)與g(x)的圖象在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18427.png)
處有公共點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18428.png)
.由此能夠?qū)С?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18433.png' />,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18437.png)
.
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最大值和最小值中的應(yīng)用和用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,易出錯.