Question

某商場經過市場調查分析后得知，2003年從年初開始的前n個月內，對某種商品需求的累計數(shù)f（n）（萬件）近似地滿足下列關系：f(n)=

1

90

n(n+2)(18-n) ， n=1 ，2 ， 3 ， …， 12
（1）問這一年內，哪幾個月需求量超過1.3萬件？
（2）若在全年銷售中，將該產品都在每月初等量投放市場，為了保證該商品全年不脫銷，每月初至少要投放多少件商品？（精確到件）

Answer 1

分析：（1）首先求出第n個月的月需求量，根據(jù)需求量超過1.3萬件建立等式關系，可求出所求；
（2）設每月初等量投放商品a萬件，要使商品不脫銷，對于第n個月來說，不僅有本月投放市場的a萬件商品，還有前幾個月未銷售完的商品．所以，需且只需：na-f（n）≥0，將a分離出來，利用基本不等式可求出a的最值．

解答：解：（1）首先，第n個月的月需求量=

f(1)，n=1 f(n)-f(n-1)，2≤n≤12

∵f(n)=

1

90

n(n+2)(18-n)，
∴f(1)=

17

30

＜1.3．
當n≥2時，f(n-1)=

1

90

(n-1)(n+1)(19-n)
∴f(n)-f(n-1)=

1

90

(-3n2+35n+19)
令f（n）-f（n-1）＞1.3，即-3n²+35n+19＞117，解得：

14

3

＜n＜7，
∵n∈N，∴n=5，6
即這一年的5、6兩個月的需求量超過1.3萬件．
（2）設每月初等量投放商品a萬件，要使商品不脫銷，對于第n個月來說，不僅有本月投放市場的a萬件商品，還有前幾個月未銷售完的商品．所以，需且只需：na-f（n）≥0，
∴a≥

f(n)

n

=

(n+2)(18-n)

90

又∵

(n+2)(18-n)

90

≤

1

90

[

(n+2)+(18-n)

2

]2=

10

9

∴a≥

10

9

即每月初至少要投放

10

9

萬件即11112件商品，才能保證全年不脫銷．

點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應用，以及利用基本不等式求函數(shù)的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．