Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，△PAB是等邊三角形．
（1）求PC與平面ABCD所成角的正弦值；
（2）求二面角B-AC-P的余弦值；
（3）求點A到平面PCD的距離．

Answer 1

解：（1）取AB中點E，則PE⊥AB
∵平面PAB⊥平面ABCD
∴PE⊥平面ABCD
取CD中點F，連接EF
如圖，建立空間直角坐標系E-xyz，則P（0，0，），C（1，2，0）
∴
平面ABCD的一個法向量
∴cos＜，＞==
∴PC與平面ABCD所成角的正弦值為
（2）A（-1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，）
∴，
平面APC的一個法向量
平面ABC的一個法向量
∴cos＜，＞==
∴二面角B-AC-P的余弦值為
（3）P（0，0，），C（1，2，0），D（-1，2，0）
∴，
∴平面PCD的一個法向量=（0，，2），
∴d==
∴點A到平面PCD的距離為
分析：此題可利用空間向量做：根據(jù)題中條件可取AB中點E，取CD中點F，連接EF易證PE，BE，EF兩兩相互垂直故建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz
（1）求出和平面ABCD的一個法向量然后利用向量的夾角公式求出cos＜，＞然后根據(jù)若cos＜，＞＞0，則PC與平面ABCD所成角為-＜，＞；若cos＜，＞＜0則PC與平面ABCD所成角為＜，＞-然后再結合誘導公式進而可求出PC與平面ABCD所成角的正弦值．
（2）求出平面APC的一個法向量，平面ABC的一個法向量然后利用向量的夾角公式求出cos＜，＞而點P在面ABC上的投影點E在面ABC的內部故二面角B-AC-P的平面角為π-＜，＞（若cos＜，＞＞0）或＜，＞（若cos＜，＞＜0）然后再結合誘導公式進而可求出二面角B-AC-P的余弦值．
（3）求出平面PCD的一個法向量，然后利用d=即可求點A到平面PCD的距離．
點評：本題主要考查了利用空間向量求線面角、二面角、點到面的距離，屬常考題，較難．解題的關鍵是首先依據(jù)題中條件建立恰當?shù)目臻g直角坐標系然后根據(jù)線面角、二面角、點到面的距離的向量求法求出相應的量代入即可得解！