Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：3²ⁿ⁺²-8n-9（n∈N）能被64整除．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，當(dāng)n=1時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，f（k）=3^2k+2-8k-9能夠被64整除，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，f（1）═3⁴-8-9=64能被64整除，命題成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，f（k）=3^2k+2-8k-9能夠被64整除．      
當(dāng)n=k+1時(shí)，f（k+1）=3^2k+4-8（k+1）-9=9[3^2k+2-8k-9]+64k+64=9[3^2k+2-8k-9]+64（k+1）
∵f（k）=3^2k+2-8k-9能夠被64整除，
∴f（k+1）=9[3^2k+2-8k-9]+64（k+1）能夠被64整除．                    
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立．
由（1）（2）可知，f（n）=3²ⁿ⁺²-8n-9（n∈N^*）能被64整除，即f（n）=3²ⁿ⁺²-8n-9是64的倍數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，屬于中檔題．