Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0．
（1）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點(diǎn)；
（2）設(shè)l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=

17

，求l的傾斜角．

Answer 1

分析：（1）由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑R，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離d，判斷出d小于等于1，即d小于圓的半徑R，可得直線與圓相交，則對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點(diǎn)，得證；
（2）由直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，AB為圓C的弦，根據(jù)垂徑定理得到弦長的一半，圓的半徑及弦心距d構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出直線l的方程，進(jìn)而求出直線l的傾斜角．

解答：解：（1）圓C的圓心坐標(biāo)為（0，1），半徑為

5

，
∵圓心C到直線l的距離d=

|m•0-1•1+1-m|

m2+(-1)2

=

|m|

m2+1

≤1（m∈R），
即d＜r=

5

，
∴直線l與圓C相交，
則對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點(diǎn)；　
（2）∵R=

5

，d=

|m|

m2+1

，|AB|=

17

，
∴根據(jù)垂徑定理及勾股定理得：

|AB|

2

=

R2-d2

，即

17

4

=5-

m2

m2+1

，
整理得：m²=3，解得：m=±

3

，
∴直線l的方程為

3

x-y+1-

3

=0或

3

x+y-1-

3

=0，
則直線l的傾斜角為：60°或120°．

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，勾股定理，以及直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，是一道綜合性較強(qiáng)的中檔題．