Question

如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點P，如果將容器倒置，水面也恰好過點P（如圖2），有下列三個命題：
（1）正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半；
（2）將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點P；
（3）若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿．
請判斷上面命題是否正確，并說明理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)圖（1）水的高度h₂幾何體的高為h₁，圖（2）中水的體積為b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），從而得到h₁=

5

3

h₂，當(dāng)容器側(cè)面水平放置時，P點在長方體中截面上，又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過P點．

解答： 解：設(shè)圖（1）水的高度h₂幾何體的高為h₁
圖（2）中水的體積為b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），
所以

2

3

b²h₂=b²（h₁-h₂），所以h₁=

5

3

h₂，故（1）錯誤，（3）正確．
對于（2），當(dāng)容器側(cè)面水平放置時，P點在長方體中截面上，
又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過P點，故（2）正確．
故答案為：（2），（3）．

點評：本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．