Question

18．在我校自編操比賽中，甲班、乙班、丙班、丁班均可從A、B、C三首不同曲目中任選一首．
（1）求甲、乙兩班選擇不同曲目的概率；
（2）設這四個班級總共選取了X首曲目，求X的分布列及數學期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件總數，再求出甲、乙兩班選擇不同曲目包含的基本事件個數，由此能求出甲、乙兩班選擇不同曲目的概率．
（2）由已知X的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）在我校自編操比賽中，甲班、乙班、丙班、丁班均可從A、B、C三首不同曲目中任選一首，
∴甲、乙兩班選擇不同曲目的概率P=$\frac{{A}_{3}^{2}}{{3}^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
∴甲、乙兩班選擇不同曲目的概率為$\frac{2}{3}$．
（2）∵這四個班級總共選取了X首曲目，∴X的可能取值為1，2，3，
P（X=1）=$\frac{3}{{3}^{4}}$=$\frac{1}{27}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}（{2}^{4}-2）}{{3}^{4}}$=$\frac{14}{27}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{3}^{4}}$=$\frac{12}{27}$．
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{14}{27}$	$\frac{12}{27}$

E（X）=$1×\frac{1}{27}+2×\frac{14}{27}$+3×$\frac{12}{27}$=$\frac{65}{27}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．