設(shè)橢圓E：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上焦點是F1，過點P（3，4）和F1作直線PF1交橢圓于A、B兩點，已知A（
1
3
，
4
3
）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)點C是橢圓E上到直線PF1距離最遠(yuǎn)的點，求C點的坐標(biāo)．
（1）由A（
1
3
，
4
3
）和P（3，4）得直線PF1的方程為：y=x+1…（1分）
令x=0，得y=1，即c=1                                          …（2分）
橢圓E的焦點為F1（0，1）、F2（0，-1），
由橢圓的定義可知2a=|AF1|+|AF2|=
(
1
3
)2+(
4
3
-1)2
+
(
1
3
)2+(
4
3
+1)2
=2
2
…（4分）
∴a=
2
，b=1…（5分）
橢圓E的方程為
y2
2
+x2=1…（6分）
（2）設(shè)與直線PF1平行的直線l：y=x+m…（7分），
由
y2
2
+x2=1
y=x+m
，消去y得3x2+2mx+m2-2=0…（8分）
△=（2m）2-4×3×（m2-2）=0，
即m2=3，m=±
3
…（9分）
要使點C到直線PF1的距離最遠(yuǎn)，
則直線L要在直線PF1的下方，所以m=-
3
…（10分）
此時直線l與橢圓E的切點坐標(biāo)為(
3
3
，-
2
3
3
)，
故C(
3
3
，-
2
3
3
)為所求．   …（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞b＞0，F(xiàn)是方程
x2
b2
+
y2
a2
=1的橢圓E的一個焦點，P、A，B是橢圓E上的點，
PF
與x軸平行，
PF
=
a
4
，設(shè)
A（x1，y1），B（x2，y2），
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，
m
•
n
=0
（I ）求橢圓E的離心率
（II）如果橢圓E上的點與橢圓E的長軸的兩個端點構(gòu)成的三角形的面積的最大值等于2，直線y=kx-3經(jīng)過A、B兩點，求k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞b＞0F是方程
x2
b2
+
y2
a2
=1的橢圓E的一個焦點，P、A，B是橢圓E上的點，
PF
與x軸平行，
PF
=
a
4
，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
i
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，
i
⊥
n
原點O與A、B兩點構(gòu)成的△AOB的面積為S
（I ）求橢圓E的離心率
（II）設(shè)橢圓E上的點與橢圓£的長軸的兩個端點構(gòu)成的三角形的面積的最大值等于2，S是否為定值？如果是，求出這個定值：如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點P(1，
2
)，其離心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ） 直線l：y=
2
x+m交橢圓于A、B兩點，且△PAB的面積為
2
，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•煙臺二模）設(shè)橢圓E：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上焦點是F1，過點P（3，4）和F1作直線PF1交橢圓于A、B兩點，已知A（
1
3
，
4
3
）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)點C是橢圓E上到直線PF1距離最遠(yuǎn)的點，求C點的坐標(biāo)．

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