Question

6．已知實數(shù)t滿足關系式log_a$\frac{t}{{{a^3}_{\;}}}={log_t}$$\frac{y}{a^3}$（a＞0且a≠1，t＞0且t≠1）
（1）令t=a^x，求y=f（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下若x∈（0，2]時，y有最小值8，求a和x的值．

Answer 1

分析 （1）直接將t=a^x的代入化簡消去t即得到y(tǒng)=f（x）的表達式；
（2）利用復合函數(shù)的單調性，對底數(shù)a進行討論最值情況，從而求出a和x的值．

解答 解：（1）由題意：log_a$\frac{t}{{{a^3}_{\;}}}={log_t}$$\frac{y}{a^3}$（a＞0且a≠1，t＞0且t≠1）
可得：log_at-3=log_ty-3log_ta
由t=a^x，可得x=log_at，$\frac{1}{x}=lo{g}_{t}a$，代入上式得x-3=log_ty-$\frac{3}{x}$，（注log_ty=$\frac{1}{x}lo{g}_{a}y$）
∴l(xiāng)og_ay=x²-3x+3，即$y={a}^{{x}^{2}-3x+3}$ （x≠0）
故得：y=f（x）的表達式：$f（x）={a}^{{x}^{2}-3x+3}（x≠0）$
（2）由（1）可得$f（x）={a}^{{x}^{2}-3x+3}（x≠0）$，
令u=x²-3x+3=（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$ （x≠0），
那么：f（x）=a^u
①若0＜a＜1，要使y=a^u有最小值8，
則u=（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$ 在（0，2]上應有最大值，但u在（0，2]上不存在最大值．
②若a＞1，要使y=a^u有最小值8，u=（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$ 在（0，2]上應有最小值．
∴當x=$\frac{3}{2}$時，則u_min=$\frac{3}{4}$，y_min=${a}^{\frac{3}{4}}$，
由題意：${a}^{\frac{3}{4}}=8$
解得：a=16．
因此：所求a和x的值分別為16，$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了對數(shù)與指數(shù)的互化和對數(shù)的運算，復合函數(shù)的最值問題．屬于中檔題．