Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足|

F1Q

|=2a．，點(diǎn)P是線段F₁Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F₂Q上，并且滿足

PT

•

TF2

=0，|

TF2|

≠0．
（1）設(shè)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明|

PF1|

=a+

c

a

x；
（2）求點(diǎn)T的軌跡C的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式和橢圓方程，將其化為關(guān)于變量x的代數(shù)式，再利用橢圓中a²=b²+c²的性質(zhì)，將所得代數(shù)式化簡即可得證；
（2）依題意先證明T為線段QF₂的中點(diǎn)，從而在三角形QF₁F₂中，點(diǎn)T到點(diǎn)O的距離為定值a，利用定義法即可判斷其軌跡為圓，寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程即可

解答：解：（1）證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．由P（x，y）在橢圓上，得

| F1P |= (x+c)2+y2 = (x+c)2+b2- b2 a2 x2 ．

= (x+c)2+a2-c2- a2-c2 a2 x2 ．

= (a+ c a x)2 ．

由x≥a知a+

c

a

x≥-c+a＞0，
所以 |

F1P

|=a+

c

a

x．
（2）解：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x，y）．當(dāng)|

PT

|=0時(shí)，點(diǎn)（a，0）和點(diǎn)（-a，0）在軌跡上．
當(dāng)|

PT

|≠0且|

TF2|

≠0時(shí)，由|

PT

|•|

TF2

|=0，得

PT

⊥

TF2

．
又|

PQ

|=|

PF2

|，所以T為線段F₂Q的中點(diǎn)．
在△QF₁F₂中，|

OT

|=

1

2

|

F1Q

|=a，所以有x²+y²=a²．
綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x²+y²=a²．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓焦半徑公式的證明方法，定義法求動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的方法，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及定義的用法，解決此題有一定的運(yùn)算難度和思維難度