銳角△ABC中,O、G分別為此三角形的外心和重心,若OG∥AC,求證:tanA、tanB、tanC成等差數(shù)列.
分析:根據(jù)平行知外心和重心到邊AC的距離相等,得到三個三角形面積之間的關系,表示出三角形的面積,根據(jù)三角函數(shù)恒等變化和三角形內角和,得到cosAcosC=
1
2
cosB,這是解題的關鍵,要證三個數(shù)成等差數(shù)列,只要證中間一項的二倍等于另兩項之和即可.
解答:解:∵OG∥AC,
S△AOC=S△AGC=
1
3
S△ABC
,
1
2
R•Rsin∠AOC=
1
3
×
1
2
AB•AC
•sin∠ABC,
∴3R2•sin2B=2R•2R•sinAsinBsinC,
∴3cosB=2sinAsinC,
-3cosAcosC+3sinAsinC=2sinAsinC,
∴cosAcosC=
1
2
cosB,
∴tanA+tanB=
sinA
cosA
+
sinC
cosC
=
sin(A+C)
cosAcosC
=
sinB
1
2
cosB
=2tanB

∴tanA、tanB、tanC成等差數(shù)列
點評:本題是一個三角函數(shù)同等差數(shù)列結合的題目,數(shù)列是高中數(shù)學的重要內容,又是學習高等數(shù)學的基礎,所以在高考中占有重要的地位.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在銳角△ABC中,已知:AB=5,AC=6,O為△ABC外接圓的圓心.
(1)若S△ABC=12,求BC邊的長;
(2)求
AO
BC
的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在銳角△ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,已知S△ABC=
3
2
3
,且b=2,c=3,O為△ABC的外心,則
OB
OC
=
-
7
6
-
7
6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在銳角△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C所對的邊,且

(Ⅰ)確定角C的大。簑.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(Ⅱ)若c=,且△ABC的面積為,求a+b的值。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2012屆安徽省六校教育研究會高二素質測試文科數(shù)學 題型:填空題

給出下列命題:

①.在等差數(shù)列,且 ,則使數(shù)列前n項和 取最小值的n等于5;

的外接圓的圓心為O,半徑為1,,且,則向量在向量方向上的投影為;

 

③曲線與直線有兩個交點,則的取值范圍是;

 

④若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對于D上任意n個值x1、x2、…xn總滿足

 ,則f(x)稱為D上的凸函數(shù),現(xiàn)已知

 

上凸函數(shù),則銳角△ABC中的最大值為。

 

其中正確命題的序號是           。

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案