Question

已知橢圓，過(guò)E（1，0）作兩條直線AB與CD分別交橢圓于A，B，C，D四點(diǎn)，已知．
（1）若AB的中點(diǎn)為M，CD的中點(diǎn)為N，求證：①為定值，并求出該定值；②直線MN過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；
（2）求四邊形ACBD的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，兩式相減得，同理，，
所以．由此能導(dǎo)出MN必過(guò)OE的中點(diǎn)；
（2）設(shè)AB的方程為y=k₁（x-1），CD的方程為y=k₂（x-1）．由，得，，同理，由此能導(dǎo)出四邊形ACBD的最大值．
解答：解：（1）證明：①設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，．
兩式相減得，即c=2時(shí)，．
同理，∴
∴（4分）
4由①知：c=2時(shí)，5，又已知
∴k_OM=k_CD，從而OM∥CD．
同理可知：ON∥AB∴四邊形ONEM為平行四邊形．
∴MN必過(guò)OE的中點(diǎn)
（2）設(shè)AB的方程為y=k₁（x-1），CD的方程為y=k₂（x-1）．
由，得
∴，同理
∵
令tanα=|k₁|，tanβ=|k₂|∴∴θ=α+β
∴
∴=
∴（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，具有一定的難度，運(yùn)算量較大，比較繁瑣，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．