Question

已知圓C的圓心在直線x-3y=0上，且圓C與x軸相切，若圓C截直線y=x得弦長為，求圓C的方程．

Answer 1

解：（方法一）設(shè)所求的圓的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，
則圓心（a，b）到直線x-y=0的距離為，∴
即2r²=（a-b）²+14①（2分）
由于所求的圓與x軸相切，∴r²=b²②（4分）
又圓心在直線3x-y=0上，∴3a-b=0③（6分）
聯(lián)立①②③，解得a=1，b=3，r²=9或a=-1，b=3，r²=9（10分）
故所求的圓的方程是：（x-1）²+（y-3）²=9或（x+1）²+（y+3）²=9（12分）
（方法二）設(shè)所求的圓的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，則其圓心為，
半徑為，令y=0得x²+Dx+F=0，由圓與x軸相切，
得△=0，即D²=4F④（2分）
又圓心到直線x-y=0的距離為，由已知得，
即（D-E）²+56=2（D²+E²-4F）⑤（4分）
又圓心在直線3x-y=0上，∴3D-E=0⑥（6分）
聯(lián)立④⑤⑥，解得：D=-1，E=-6，F(xiàn)=1或D=2，E=6，F(xiàn)=1（10分）
故所求圓的方程是x²+y²-2x-6y+1=0或x²+y²+2x+6y+1=0（12分）
（方法三）由題，設(shè)所求圓的圓心為（3t，t），則其半徑r=3|t|（4分）
方程為（x-t）²+（y-3t）²=9t²，圓心到直線x-y=0的距離為（6分）
∴，解得t=1或t=-1（10分）
故所求的圓的方程是：（x-1）²+（y-3）²=9或（x+1）²+（y+3）²=9（12分）
分析：法一：設(shè)出圓的方程，利用已知條件，推出2r²=（a-b）²+14①，r²=b²②，3a-b=0③解出a，b，r即可得到圓的方程．
法二：設(shè)出圓的一般方程，利用圓錐條件，求出D、E、F即可得到圓的方程．
法三：設(shè)所求圓的圓心為（t，3t），則其半徑r=3|t|，方程為（x-t）²+（y-3t）²=9t²，圓心到直線x-y=0的距離為，求出t，解出圓的方程．
點評：本題是基礎(chǔ)題，考查圓的方程的求法，標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的應(yīng)用，靈活設(shè)出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，簡化解題過程是最好的解題方法，考查計算能力．