如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形BC∥AD,∠DAB=90°,AB=BB1=4,BC=3,AD=5,AE=3,F、G分別為CD、C1D1的中點(diǎn).
(1)求證:EF⊥平面BB1G;
(2)求二面角E-BB1-G的大小.
【解析】(1)連接FG ∵F、G分別為CD、C1D1的中點(diǎn),∴FGCC1 從而FG
BB1
∴B、B1、F、G四點(diǎn)共面.
連接BF并延長與AD的延長線交于點(diǎn)H.
∵F為CD的中點(diǎn),且BC∥AD.
∴△HFD△BFC ∴DH=BC=3
∴EH=DE+DH=5. 又∵BE=5,且F為BH的中點(diǎn).
∴EF⊥BF,又∵BB1⊥平面ABCD,且EF平面ABCD內(nèi).
∴BB1⊥EF ∴EF⊥平面BB1GF. 從而EF⊥平面BB1G.
(2)二面角E-BB1-G的大小等于二面角F-BB1-E的大小
∵EF⊥平面FBB1 且EB⊥BB1 FB⊥BB1
即∠EBF為二面角F-BB1-E的平面角
在△EFB中,EB=5,EF=. ∴
∴∠EBF= ∴二面角E-BB1-G的大小為
解法2:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB為x軸,AA1為y軸,AD為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則E(0,0,3)、F(2,0,4)、G(2,4,4)、B(4,0,0)、B1(4,4,0)
(1)、
、
∵,
∴EF⊥BB1,EF⊥B1G ∴EF⊥平面BB1G
(2)∵EF⊥平面BB1G ∴為平面BB1G的一個法向量
設(shè)平面EBB1的一個法向量為
則 解得
,取
∴
∴二面角E-BB1-G的大小為
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