Question

6．若函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx的圖象過(guò)兩點(diǎn)（0，1），（$\frac{π}{2}$，1）
（I）試比較arccos（b-c）和arctan（a+c）的大小
（2）a為何值時(shí)，f（x）恒為定值？并求出該定值：
（3）若當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，y=f（x）圖象和直線y=2有公共點(diǎn)，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得到a+b=1，a+c=1，則b=c，得b-c=0，求出arccos（b-c）和arctan（a+c）的值進(jìn)行大小比較；
（2）把b，c用a表示，代入函數(shù)解析式，化積后得答案；
（3）由x的范圍對(duì)a分類求得y=f（x）的范圍，結(jié)合y=f（x）圖象和直線y=2有公共點(diǎn)，得到關(guān)于a的不等式得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1）和（$\frac{π}{2}$，1），
∴a+b=1，a+c=1，則b=c，得b-c=0．
∴arccos（b-c）=arccos0=$\frac{π}{2}$，arctan（a+c）=arctan1=$\frac{π}{4}$，
則arccos（b-c）＞arctan（a+c）；
（2）由（1）得，b=c=1-a，則f（x）=a+bcosx+csinx=a+（1-a）（sinx+cosx）=a+$\sqrt{2}（1-a）sin（x+\frac{π}{4}）$．
∴當(dāng)a=1時(shí)，f（x）為定值1．
（3）當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$），sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]．
由（2）知，a=1時(shí)，y=f（x）圖象和直線y=2無(wú)公共點(diǎn)；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）＜1；
當(dāng)a＜1時(shí)，f（x）_max=$\sqrt{2}-\sqrt{2}a+a$，
要使y=f（x）圖象和直線y=2有公共點(diǎn)，則$\sqrt{2}-\sqrt{2}a+a≥2$，得$a≤-\sqrt{2}$．
∴a的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查三角函數(shù)最值的求法，考查推理論證能力與計(jì)算求解能力，是中檔題．