Question

6．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點A作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B、C，若$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±$\sqrt{2}$x
• B． y=±$\sqrt{3}$x
• C． y=±2x
• D． y=±$\sqrt{5}$x

Answer 1

分析 由題意可知求得直線方程，求得B和C點坐標，由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，則4a²=b²，根據(jù)雙曲線的漸近線方程公式，即可求得雙曲線的漸近線方程．

解答 解：對于A（a，0），則直線方程為x+y-a=0，直線與漸近線的交點B，C，
則B（$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），C（$\frac{{a}^{2}}{a-b}$，-$\frac{ab}{a-b}$），
則$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}-^{2}}$，-$\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}-^{2}}$），$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{ab}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），
則$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，即4a²=b²，
∴雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{a}$x，即有y=±2x，
故選C．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，向量的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．