Question

設有半徑為3km的圓形社區(qū)，A、B兩人同時從社區(qū)中心出發(fā)，A向東，而B向北直進？A出發(fā)后不久，改變前進方向，斜著沿切于社區(qū)周界的方向前進，后來恰好與B相遇．設A、B兩人的速度都一定，其比為3∶1，問A、B兩人在何處相遇？

Answer 1

答案：略
解析：

設想以社區(qū)的中心為原點，以開始時A、B的前進方向為x，y軸，建立直角坐標系． 設A、B兩人的速度分別為3vkm/h，vkm/h，再設A出發(fā)后小時，在點P處改變方向，又經(jīng)小時，在點Q處與B相遇，則P、Q兩點的坐標分別為(，0)，(0，v(＋))，如圖所示． 由于A從P到Q行走的時間是小時，由勾股定理 ， 有， 化簡、整理，得 ， 又，∴，① 于是，② ①代入②得，． 解法一，由于切線PQ與y軸的交點Q對應的縱坐標v(＋)的值即為所求，現(xiàn)轉(zhuǎn)化為“當直線與圓相切時，求縱截距b的值． 利用圓心到切線的距離等于半徑，得(b＞0) 因此，A和B相遇的地點是在離社區(qū)中心正北處． 解法二：研究△POQ面積，則， ∴． 由①，得，， ∴(km)．

提示：

已知條件中，時間相等，速度成比例，剩下要找的是路程關系，牽涉到圓與切線，可將問題置于坐標系中，從數(shù)學角度去考察路程的數(shù)量關系． 合理建立直角坐標系，建立解析幾何模型，通過設元，找關系，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題作出定量或定性的分析與判斷，解決實際應用問題．