Question

【題目】已知函數（其中），（其中為自然對數的底數）.

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求的單調區(qū)間和極值；

（2）若對任意，總存在使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）， 算出m值，然后求出的單調區(qū)間和極值；

（2）因為對任意，總存在使得，

即成立，分別求與的最值即可.

試題解析：

（1）函數的定義域為， ，

在處的切線斜率為，由，∴，

∴， ，令，得，當時， ， 單調遞減；當時， ， 單調遞增.從而的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，當時， 有極小值， 沒有極大值；

（2）由， ，當時， ， 單調遞增，故有最小值，

因為對任意，總存在使得，

即成立，所以對任意，都有，

即，

也即成立，從而對任意，都有成立，

構造函數 ，則，令，得，當時， ， 單調遞增；當時， ， 單調遞減，∴的最大值為，∴，綜上，實數的取值范圍為.