Question

函數(shù)f(x)=x+

1

x

的圖象為C₁，C₁關(guān)于點A（2，1）的對稱圖形為C₂，C₂對應(yīng)的函數(shù)為g（x）：
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）若直線y=b與C₂只有一個公共點，求b的值及交點坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)g（x）圖象任一點P（x，y）以及P關(guān)于A（2，1）的對稱點P'（x'，y'），根據(jù)點關(guān)于點對稱的性質(zhì)，用p的坐標(biāo)表示P'的坐標(biāo)，再把P'的坐標(biāo)代入f（x）的解析式進行整理，求出g（x）解析式；
（2）需要對x進行分類后，利用基本不等式求出函數(shù)g（x）的最值，再由條件和等號取到的條件求出b的值和交點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）函數(shù)g（x）圖象任一點P（x，y），且P關(guān)于A（2，1）的對稱點P'（x'，y'），
則

x+x′ 2 =2 y+y′ 2 =1

，解得

x′=4-x y′=2-y

，
∵點P'在函數(shù)f(x)=x+

1

x

的圖象上，∴2-y=(4-x)+

1

(4-x)

，
即g（x）=(x-4)+

1

(x-4)

+2．

（2）當(dāng)x-4＞0時，即x＞4，(x-4)+

1

(x-4)

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=5時取到等號，
此時g（x）取到最小值4，
∵直線y=b與C₂只有一個公共點，∴b=4，且交點坐標(biāo)是（5，4）；
當(dāng)x-4＜0時，即x＜4，-[(x-4)+

1

(x-4)

]≥2，即(x-4)+

1

(x-4)

≤-2，
此時g（x）取到最大值0，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時取到等號
∵直線y=b與C₂只有一個公共點，∴b=0，且交點坐標(biāo)是（3，0）；
綜上，b的值及交點坐標(biāo)分別為4，（5，4）或0，（3，0）．

點評：本題是有關(guān)函數(shù)的綜合題，考查了用代入法求函數(shù)的解析式，利用點關(guān)于點對稱的性質(zhì)，還利用基本不等式求出函數(shù)的最值，注意基本不等式的使用條件，考查了分類討論思想．