(1)當(dāng)m=0時,討論函數(shù)f(x)=-x3+x2+x+m在定義域內(nèi)的單調(diào)性并求出極值;
(2)若函數(shù)f(x)=-x3+x2+x+m有三個零點,求實數(shù)m的取值范圍.
解:(1)當(dāng)m=0時,f(x)=-x3+x2+x.∴f′(x)=-3x2+2x+1=-3(x+)(x-1).
列表
x | (-∞,) | (,1) | 1 | (1,+∞) | |
f′(x) | — | 0 | + | 0 | - |
f(x) | ↘ | 極小值f() | ↗ | 極大值f(1) | ↘ |
由表可知:函數(shù)f(x)=-x3+x2+x在區(qū)間[,1]上單調(diào)遞增,在(-∞,)∪(1,+∞)上單調(diào)遞減. f(x)的極小值為f()=.極大值為f(1)=1.
(2)由(1)知,當(dāng)x=時,f(x)取得極小值f()=++m=m.
當(dāng)x=1時,f(x)取得極大值f(1)=-1+1+1+m=m+1.
當(dāng)即-1<m<時,
f(-1)=1+1-1+m=m+1>0,f()=m-<0,f(1)=m+1>0,f(2)=m-2<0.
∴f(x)=-x3+x2+x+m在[-1,]上有唯一零點,在(,1]上有唯一零點,在(1,2]上有唯一零點.
又f(x)=-x3+x2+x+m在(-∞,-1]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞減,
∴在(-∞,-1]上恒有f(x)≥f(-1)>0,在?[2,+∞)?上恒有f(x)≤f(2)<0.
∴f(x)=-x3+x2+x+m在(-∞,-1]和?[2,+∞)?上無零點.
∴-1<m<時,函數(shù)f(x)=-x3+x2+x+m有三個零點.
∴所求實數(shù)m的取值范圍是(-1,).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)測試題8 題型:044
(理)“我們稱使f(x)=0的x為函數(shù)y=f(x)的零點.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)的、單調(diào)的函數(shù),且滿足f(a)·f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有唯一的零點”.對于函數(shù)f(x)=-x3+x2+x+m.
(1)當(dāng)m=0時,討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性并求出極值;
(2)若函數(shù)f(x)有三個零點,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:遼寧省寬甸第二中學(xué)2011屆高三第一次月考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題 題型:044
已知函數(shù)f(x)=-a2x2+ax+lnx(a∈R).
(Ⅰ)我們稱使f(x)=0成立的x為函數(shù)的零點.證明:當(dāng)a=1時,函數(shù)f(x)只有一個零點;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省蒼南縣錢高、靈溪二高2011屆高三上學(xué)期第一次月考聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題 題型:044
已知函數(shù)f(x)=-a2x2+ax+lnx(a∈R).
(Ⅰ)我們稱使f(x)=0成立的x為函數(shù)的零點.證明:當(dāng)a=1時,函數(shù)f(x)只有一個零點;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
“我們稱使f(x)=0的x為函數(shù)y=f(x)的零點.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)的、單調(diào)的函數(shù),且滿足f(a)·f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有唯一的零點”.對于函數(shù)f(x)=6ln(x+1)-x2+2x-1.
(1)討論函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性,并求出函數(shù)極值;
(2)證明連續(xù)函數(shù)f(x)在[2,+∞)內(nèi)只有一個零點.
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