Question

（2012•蕪湖三模）已知函數(shù)f（（x）=|lnx-

a

x

|-1（a∈R）．
（Ⅰ）設g（x）=lnx-

a

x

，若a=e，求函數(shù)g（x）的零點；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設g（x）=lnx-

a

x

，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，再利用單調函數(shù)的零點是唯一的，從而得出結論．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，f（x）=|g（x）|-1，當 0＜x＜e 時，g（x）＜0 且g（x）單調遞增，故函數(shù)f（x）單調遞減． 當 x＞e 時，g（x）＞0 且g（x）單調遞增，故函數(shù)f（x）單調遞增，由此得出結論．
（Ⅲ）f（x）＞0恒成立，等價于 lnx-

a

x

|＞1，或 lnx-

a

x

＜-1．①若 lnx-

a

x

＞1，則 a＜xlnx-x 恒成立，利用導數(shù)求出xlnx-x的最小值，從而求得實數(shù)a的取值范圍．
②若 lnx-

a

x

＜-1，則 a＞xlnx-x 恒成立，由x＞0 可得，這不可能恒成立．綜合①②得出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設g（x）=lnx-

a

x

，若a=e，則有 g^′（x）=

1

x

+

e

x2

＞0，故g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
又g（e）=0，∴函數(shù)g（x）的零點僅有一個為x=e．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，f（x）=|g（x）|-1，當 0＜x＜e 時，g（x）＜0 且g（x）單調遞增，故函數(shù)f（x）單調遞減．
當  x＞e 時，g（x）＞0 且g（x）單調遞增，故函數(shù)f（x）單調遞增．
故f（x）的單調增區(qū)間為（e，+∞），減區(qū)間為（0，e）．
（Ⅲ）f（x）＞0恒成立，等價于|lnx-

a

x

|＞1，等價于 lnx-

a

x

|＞1，或 lnx-

a

x

＜-1．
①若  lnx-

a

x

＞1，則 a＜xlnx-x 恒成立，令h（x）=xlnx-x，h′（x）=lnx，當0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)．
當 x＞1時，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)，故h（x）的最小值為h（1）=-1，從而有a＜-1．
②若 lnx-

a

x

＜-1，則 a＞xlnx-x 恒成立，由x＞0 可得，這不可能恒成立．
綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了化歸與轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．