Question

設(shè)f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f （x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x．
（I）求f（π）的值；
（II）當(dāng)-4≤x≤4時(shí)，求f（x）的圖象與x軸圍成圖形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）由f（x+2）=-f（x），知f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，從而能求出f （π）．
（II）由f（x）是奇函數(shù)且f（x+2）=-f（x），知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．由此能夠求出當(dāng)-4≤x≤4時(shí)，設(shè)f（x）的圖象與x軸圍成的圖形面積為S．
解答：解：（I）由f（x+2）=-f（x），
得f（x+4）=f[（x+2）+2]
=-f（x+2）=f（x），
所以f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
從而得f（π）=f（-1×4+π）
=f（π-4）=-f（4-π）=-（4-π）=π-4．
（II）由f（x）是奇函數(shù)且f（x+2）=-f（x），
得f[（x-1）+2]=-f（x-1）=f[-（x-1）]，
即f（1+x）=f（1-x），
故知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
又0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，
且f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
則f（x）的圖象如圖所示．

當(dāng)-4≤x≤4時(shí)，設(shè)f（x）的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，
則S=4×（）=4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．