Question

17．設(shè)命題p：m∈{x|x²+（a-8）x-8a≤0}，命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{m-3}$+$\frac{{y}^{2}}{5-m}$=1表示焦點在x軸上的雙曲線．
（1）若當(dāng)a=1時，命題p∧q假命題，p∨q”為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若命題p是命題q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求出p，q為真時的m的范圍，根據(jù)p，q一真一假，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可；
（2）通過討論a的范圍，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）a=1時，x²+（a-8）x-8a≤0，
即x²-7x-8≤0，解得：-1≤x≤8，
故p：-1≤m≤8，
若方程$\frac{{x}^{2}}{m-3}$+$\frac{{y}^{2}}{5-m}$=1表示焦點在x軸上的雙曲線，
則$\left\{\begin{array}{l}{m-3＞0}\\{5-m＜0}\end{array}\right.$，解得：m＞5
故q：m＞5；
若命題p∧q假命題，p∨q”為真命題，
則p，q一真一假，
故$\left\{\begin{array}{l}{-1≤m≤8}\\{m≤5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＞8或m＜-1}\\{m＞5}\end{array}\right.$，
解得：m∈[-1，5]∪（8，+∞）；
（2）命題p：m∈{x|x²+（a-8）x-8a≤0}={x|（x-8）（x+a）≤0}，
-a＜8即a＞-8時，p：[-a，8]，
-a＞8，即a＜-8時，p：[8，-a]，
q：m＞5，
若命題p是命題q的充分不必要條件，
即[-a，8]?（5，+∞），或[8，-a]?（5，+∞），
故-a＞5，解得：a＜-5．

點評 本題考查了充分必要條件，考查復(fù)合命題的判斷以及分類討論思想，是一道中檔題．