已知中心在原點的雙曲線的一個焦點是,一條漸近線的方程是。

(1)求雙曲線的方程;

(2)若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個不同的點,且線段的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求的取值范圍。

 

【答案】

(1);(2)的取值范圍是

【解析】

試題分析:(1)本題較易,注意利用已知條件建立方程組解得,

即得所求.

(2)從確定三角形的面積表達(dá)式入手,建立的不等式

.通過設(shè)直線的方程為,建立方程組并整理,建立的不等關(guān)系;

由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點坐標(biāo)滿足,,

得到線段的垂直平分線的方程為,

求得此直線與軸,軸的交點坐標(biāo)分別為,,

從而利用,整理得,,

將上式代入的不等關(guān)系式,得到的不等式.

試題解析:(1)設(shè)雙曲線的方程為,

由題設(shè)得解得

 所以雙曲線方程為.

(2)設(shè)直線的方程為,點的坐標(biāo)滿足方程組,整理得,此方程有兩個不等實根,

于是,

整理得......③

由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點坐標(biāo)滿足,

從而線段的垂直平分線的方程為,

此直線與軸,軸的交點坐標(biāo)分別為,,

由題設(shè)可得,整理得,

將上式代入③式得,

整理得,,解得,

所以的取值范圍是

考點:雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,三角形面積公式.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(08年龍巖一中沖刺文)(分)已知雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上,右準(zhǔn)線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點,R是弦PQ的中點.

   (1)求雙曲線C的方程;

   (2)若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動點,且2|AB|=|F1F2|,求線段AB的中點M的跡方程,并說明該軌跡是什么曲線。

   (3)若在雙曲線右準(zhǔn)線L的左側(cè)能作出直線m:x=a,使點R在直線m上的射影S滿足,當(dāng)點P在曲線C上運動時,求a的取值范圍.

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