Question

16．設(shè)橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，M是橢圓上任一動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}$的取值范圍為[-2，1]．

Answer 1

分析 由題意可知：焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為M（x，y），可得y²=1-$\frac{{x}^{2}}{4}$，$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²-3+1-$\frac{{x}^{2}}{4}$=$\frac{3{x}^{2}}{4}$-2，則x²∈[0，4]，$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}$的取值范圍為[-2，1]．

解答 解：如下圖所示，在直角坐標(biāo)系中作出橢圓：
 
由橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為M（x，y），由$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，可得y²=1-$\frac{{x}^{2}}{4}$；
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$-=（$\sqrt{3}$-x，-y）；
$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²-3+1-$\frac{{x}^{2}}{4}$=$\frac{3{x}^{2}}{4}$-2，
由題意可知：x∈[-2，2]，則x²∈[0，4]，
∴$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}$的取值范圍為[-2，1]．
故答案為：[-2，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．