Question

設(shè)A，B是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，C在雙曲線上．已知△ABC的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，且∠ACB=120°，則該雙曲線的離心率為________．

Answer 1

分析：由題意，可根據(jù)雙曲線的定義及題設(shè)中三邊長(zhǎng)度成等差數(shù)列把三個(gè)邊長(zhǎng)都用a，c表示出來，再結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)論．
解答：由題，不妨令點(diǎn)C在右支上，則有
AC=2a+x，BC=x，AB=2c；
∵△ABC的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，且∠ACB=120°，
∴x+2c=2（2a+x）?x=2c-4a；
AC=2a+x=2c-2a；
∵AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos∠ACB；
∴（2c）²=（2c-4a）²+（2c-2a）²-2（2c-4a）（2c-2a）（-）；
∴2c²-9ac+7a²=0?2e²-9e+7=0；
∴e=，e=1（舍）．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)且能靈活選用基礎(chǔ)知識(shí)建立方程求參數(shù)，本題考查了方程的思想及轉(zhuǎn)化的思想．