Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=

1

2-an

，a₁=0
（1）試求a₂，a₃，a₄，猜想{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納證明猜想．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=0與數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系a_n+1=

1

2-an

，即可求得a₂，a₃，a₄，由此可猜想{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，假設(shè)n=k時(shí)a_k=

k-1

k

，去證明n=k+1時(shí)，命題也成立即可．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=

1

2-an

，a₁=0，
∴a₂=

1

2-0

=

1

2

；
a₃=

1

2- 1 2

=

2

3

；
a₄=

1

2- 2 3

=

3

4

；
…
∴可猜想a_n=

n-1

n

；
（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=0，成立；
②假設(shè)n=k時(shí)a_k=

k-1

k

，
則n=k+1時(shí)，a_k+1=

1

2-ak

=

1

2- k-1 k

=

k

k+1

=

(k+1)-1

k+1

，
即n=k+1時(shí)，命題也成立；
綜合①②可得，對(duì)任意正整數(shù)n，a_n=

n-1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，猜得a_n=

n-1

n

是關(guān)鍵，考查猜想、分析與證明的邏輯思維能力，屬于難題．