Question

如圖，橢圓C₁：（a＞b＞0）的離心率為，x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長等于C₁的短軸長．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）設C₂與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C₂相交于點A、B，直線MA、MB分別與C₁相交于點D、E．
（ⅰ）證明：MD⊥ME．
（ⅱ）記△MAB、△MDE的面積分別為S₁、S₂，若，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓C₁：（a＞b＞0）的離心率為，x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長等于C₁的短軸長，建立方程；
（Ⅱ）（�。┰O直線l的方程為y=kx與y=x²-1聯(lián)立得x²-kx-1=0，利用韋達定理表示出k_MA×k_MB，即可證得結論；
（ⅱ）設直線MA、MB的方程與y=x²-1聯(lián)立，求得A，B的坐標，進而可表示S₁，直線MA、MB的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得D，E的坐標，進而可表示S₂，從而可得，利用基本不等式，即可確定λ的取值范圍．
解答：（Ⅰ）解：由題意，，∴a²=2b²
令x²-b=0可得x=，∴，∴b=1，∴a²=2
∴C₁、C₂的方程分別為，y=x²-1；
（Ⅱ）證明：設直線l的斜率為k，方程為y=kx與y=x²-1聯(lián)立得x²-kx-1=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個實根
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1
∵M（0，-1），∴k_MA×k_MB=×===-1
∴MA⊥MB，即MD⊥ME；
（ⅱ）解：設直線MA的斜率為k₁，直線MA的方程為y=k₁x-1與y=x²-1聯(lián)立得x²-k₁x=0
∴x=0或x=k₁，∴A（）
同理可得B（）
∴S₁===
y=k₁x-1與橢圓方程聯(lián)立，可得（）x-4k₁x=0
∵x=0或x=，∴D（）
同理可得E（，）
∴=
∴==≥=
當且僅當k₁=1時取等號
∴λ的取值范圍是[，+∞）．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與拋物線、橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，聯(lián)立方程，確定點的坐標是關鍵．