Question

11．如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，點M是棱CC₁的中點．
（1）在棱AB上是否存在一點N，使MN∥平面AB₁C₁？若存在，請確定點N的位置；若不存在，請說明理由；
（2）當△ABC是等邊三角形，且AC=CC₁=2時，求點M到平面AB₁C₁的距離．

Answer 1

分析 （1）在棱AB上在一點N，使MN∥平面AB₁C₁，點N為線段AB的中點．下面給出證明：分別取線段AB，AC的中點N，P．連接MP，PN，NM．利用三角形中位線定理可得：MP∥AC₁，NP∥BC，又BC∥B₁C₁，可得NP∥B₁C₁．再利用線面面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可證明．
（2）先求點A到平面AB₁C₁的距離h，則點M到平面AB₁C₁的距離是$\frac{1}{2}h$．由△ABC是等邊三角形，且AC=CC₁=2，可得點A到平面BCC₁B₁的距離d=$\sqrt{3}$．利用${V}_{A-{B}_{1}{C}_{1}C}$=${V}_{C-A{B}_{1}{C}_{1}}$，即可得出．

解答 解：（1）在棱AB上在一點N，使MN∥平面AB₁C₁，點N為線段AB的中點．下面給出證明：
分別取線段AB，AC的中點N，P．連接MP，PN，NM．
又點M是棱CC₁的中點，由三角形中位線定理可得：MP∥AC₁，NP∥BC，又BC∥B₁C₁，可得NP∥B₁C₁．
又MP?平面AB₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁，∴MP∥平面AB₁C₁，
同理可證PN∥平面AB₁C₁，又PN∩PM=P．
∴MN∥平面AB₁C₁．
（2）先求點A到平面AB₁C₁的距離h，則點M到平面AB₁C₁的距離是$\frac{1}{2}h$．
∵△ABC是等邊三角形，且AC=CC₁=2，
∴點A到平面BCC₁B₁的距離d=$\sqrt{3}$.${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{2}×{2}^{2}$=2．
AC₁=AB₁=$\sqrt{2}A{A}_{1}$=2$\sqrt{2}$．
∴${S}_{△A{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∵${V}_{A-{B}_{1}{C}_{1}C}$=${V}_{C-A{B}_{1}{C}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}×d×{S}_{△{B}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{3}×h×{S}_{△A{B}_{1}{C}_{1}}$，
∴h=$\frac{2×\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴$\frac{1}{2}h$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴點M到平面AB₁C₁的距離為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查了空間位置關系、距離的計算、線面垂直判定與性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)、等體積法、三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．