Question

設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1，在滿足條件①②的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y＝0的距離最小的圓的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：設(shè)圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|．由題設(shè)知圓P截x軸所得的劣弧對的圓心角為90°，知圓P截x軸所得的弦長為，故r2＝2b2．又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有r2＝a2＋1．從而得2b2－a2＝1．又點P(a，b)到直線x－2y＝0的距離為，所以a－2b＝，得a2＝4b2±bd＋5d2①，將a2＝2b2－1代入①式，整理得2b2±4db＋5d2＋1＝0②，把它看作b的二次方程，由于方程有實根，故判別式非負，即Δ＝8(5d2－1)≥0，可解得5d2≥1．所以5d2有最小值1，從而d有最小值．把代入②式得2b2±4b＋2＝0，解得b＝±1．將b＝±1代入r2＝2b2，得r2＝2． 　　由r2＝a2＋1得a＝±1． 　　綜上a＝±1，b＝±1r2＝2．由|a－2b|＝1知a，b同號．于是所求圓的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2． 思路解析：可設(shè)圓的標準方程，由①有垂徑定理，即r2＝|a|2＋1；由②有劣弧對的圓心角為90°，即所截弦長為，于是有r2＝2b2，再由圓心到直線的距離可求得圓心坐標和半徑．