Question

已知{a_n}是等比數(shù)列，公比q＞1，前n項(xiàng)和為
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)數(shù){b_nb_n+1}的前n項(xiàng)和為T_n，求證．

Answer 1

【答案】分析：（I）由=建立關(guān)于a₁和q的方程，可解出q=2．從而得到數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=，得{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁q^n-1=2^n-2，由此結(jié)合題意和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)整理，可得b_n=；
（II）根據(jù)（I）的結(jié)論，得b_nb_n+1=（-），代入T_n消元化簡(jiǎn)得T_n=（1-），最后結(jié)合的取值范圍，利用不等式的運(yùn)算性質(zhì)可證出不等式成立．
解答：解：（I）===，
∴整理得2q²-5q+2=0，解之得q=2（舍）
由此可得a₁==，得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁q^n-1=2^n-2，
∴a_2n+1=2^2n-1，結(jié)合=2得b_n==；
可得{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=；
（II）根據(jù)（I）的結(jié)論，得
b_nb_n+1==（-）
可得T_n=[（1-）+（-）+…+（-）]=（1-）
∵n∈N^*，∴0＜≤，得≤1-＜1
因此，T_n=（1-）∈[，），
即不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題給出等差、等比數(shù)列模型，求數(shù)列的通項(xiàng)并求討論數(shù)列{b_nb_n+1}的前n和的取值范圍，著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和、數(shù)列與不等式的綜合等知識(shí)，屬于中檔題．