已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是x軸上方橢圓E上的一點，且PF1⊥F1F2，|PF1|=
3
2
，|PF2|=
5
2
．
（Ⅰ） 求橢圓E的方程和P點的坐標；
（Ⅱ）判斷以PF2為直徑的圓與以橢圓E的長軸為直徑的圓的位置關系．
分析：（Ⅰ）由P在橢圓E上，知a=2．由PF1⊥F1F2，∴|F1F2|2=|PF2|2-|PF1|2=(
5
2
)2-(
3
2
)2=4．由此能求出橢圓E的方程和P點的坐標．
（Ⅱ）線段PF2的中點M（0，
3
4
），以M（0，
3
4
）為圓心PF2為直徑的圓M的方程為x2+(y-
3
4
)2=
25
16
，以橢圓E的長軸為直徑的圓的方程為：x2+y2=4，由此可知兩圓相內(nèi)切．
解答：解：（Ⅰ）∵P在橢圓E上，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，…．（1分）
∵PF1⊥F1F2，∴|F1F2|2=|PF2|2-|PF1|2=(
5
2
)2-(
3
2
)2=4，…．（2分）
2c=2，c=1，∴b2=3．
所以橢圓E的方程是：
x2
4
+
y2
3
=1…．（4分）
∵F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），∵PF1⊥F1F2，
∴P（-1，
3
2
）…．（5分）
（Ⅱ）線段PF2的中點M（0，
3
4
），
∴以M（0，
3
4
）為圓心PF2為直徑的圓M的方程為x2+(y-
3
4
)2=
25
16
，
圓M的半徑r=
5
4
…．（8分）
以橢圓E的長軸為直徑的圓的方程為：x2+y2=4，圓心為O（0，0），半徑為R=2
圓M與圓O的圓心距為|OM|=
3
4
=2-
5
4
=R-r，
所以兩圓相內(nèi)切  …（10分）．
點評：本題考查橢圓E的方程和P點的坐標的求法，判斷兩圓的位置關系，探究以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓的位置關系．解題時要認真審題材，注意挖掘題設中的隱含條件．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點，設P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長等于8
2
，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設切點為M、N．
（1）若過兩個切點M、N的直線恰好經(jīng)過點B1（0，-b）時，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-
3
，0)，而且過點H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設橢圓E的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標原點，求△OMN面積的最大值．

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