7.設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),且與C的一條對(duì)稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則C的離心率為( 。
A.$\sqrt{3}$B.$\sqrt{2}$C.2D.3

分析 由于直線l過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直,因此直線l的方程為:x=c或x=-c,代入$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$得y2=b2($\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1)=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$,依題意$\frac{2^{2}}{a}$=4a,即可求出C的離心率.

解答 解:設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a>0,b>0),由于直線l過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直,因此直線l的方程為:x=c或x=-c,代入$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$得y2=b2($\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1)=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$,∴y=±$\frac{^{2}}{a}$,
故|AB|=$\frac{2^{2}}{a}$,依題意$\frac{2^{2}}{a}$=4a,∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2,∴e2-1=2,∴e=$\sqrt{3}$.
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì),考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.

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17.下列關(guān)系中,正確的個(gè)數(shù)為( 。
①$\frac{{\sqrt{2}}}{2}∈R$
②0∈N*
③{-5}⊆Z
④∅={∅}.
A.1B.2C.3D.4

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(Ⅰ)求隨機(jī)變量ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ);
(Ⅱ)記“不等式ξx2-ξx+1>0的解集是實(shí)數(shù)集R”為事件A,求事件A發(fā)生的概率P(A).

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2.已知直線y=ax與圓C:x2+y2-2ax-2y+2=0交于兩點(diǎn)A,B,且△CAB為等邊三角形,則圓C的面積為6π.

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12.已知函數(shù)f(x)=(a-bx3)ex-$\frac{lnx}{x}$,且函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,e)處的切線與直線x-(2e+1)y-3=0垂直.
(Ⅰ)求a,b;
(Ⅱ)求證:當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)>2.

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19.如圖是某空間幾何體的三視圖其中主視圖、側(cè)視圖、俯視圖依次為直角三角形、直角梯形、等邊三角形,則該幾何體的體積(  )
A.$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$B.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$C.$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$D.$\sqrt{3}$

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A.(-2,0]B.(0,2]C.(-∞,4]D.[4,+∞)

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