若a,b∈R,且|a|+|b|<1.
求證:方程x2+ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根的絕對值都小于1.
解:設(shè)方程的兩根為x1、x2,由韋達(dá)定理得 代入|a|+|b|<1有|x1+x2|+|x1x2|<1(*). 、儆脇x1|-|x2|≤|x1+x2|,把(*)式放縮得|x1|-|x2|+|x1x2|<1(|x1|-1)(|x2|+1)<0, ∵|x2|+1>0,∴|x1|<1. 、谟脇x2|-|x1|≤|x1+x2|,把(*)式放縮, 同理可得,|x2|<1.綜合①②有|x1|<1,|x2|<1. 故方程x2+ax+b=0的兩根的絕對值均小于1. 分析:題設(shè)中|a|+|b|<1,自然聯(lián)想|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,而a、b是方程的系數(shù),欲證根的絕對值小于1,由韋達(dá)定理,尋找解題途徑. |
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