若a,b∈R,且|a|+|b|<1.

求證:方程x2+ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根的絕對值都小于1.

答案:
解析:

  解:設(shè)方程的兩根為x1、x2,由韋達(dá)定理得

  代入|a|+|b|<1有|x1+x2|+|x1x2|<1(*).

 、儆脇x1|-|x2|≤|x1+x2|,把(*)式放縮得|x1|-|x2|+|x1x2|<1(|x1|-1)(|x2|+1)<0,

  ∵|x2|+1>0,∴|x1|<1.

 、谟脇x2|-|x1|≤|x1+x2|,把(*)式放縮,

  同理可得,|x2|<1.綜合①②有|x1|<1,|x2|<1.

  故方程x2+ax+b=0的兩根的絕對值均小于1.

  分析:題設(shè)中|a|+|b|<1,自然聯(lián)想|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,而a、b是方程的系數(shù),欲證根的絕對值小于1,由韋達(dá)定理,尋找解題途徑.


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若a,b∈R+,且a+b=2,則
1
a
+
1
b
的最小值為(  )

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下列命題中正確的是( 。

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已知函數(shù)f(x)=x+x3,x∈R.
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(2)若a,b∈R,且a+b>0,試比較f(a)+f(b)與0的大。

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對于使-x2+2x≤M成立的所有常數(shù)M中,我們把M的最小值l做-x2+2x的上確界,若a,b∈R,且a+b=1,則-
1
2a
-
2
b
的上確界為
 

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若a,b∈R+,且a≠b,M=
a
b
+
b
a
,N=
a
+
b
,則M與N的大小關(guān)系是(  )

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